Информатика · ЕГЭ/ОГЭ
Основы логики: И, ИЛИ, НЕ и таблицы истинности
4 мин на чтение
Учимся понимать логические операции и строить таблицу истинности
В этой статье
Логическое выражение легче считать по частям. Сначала определяем значения простых высказываний, затем выполняем операции в установленном порядке и записываем промежуточные столбцы.
После статьи вы сможете
· различать операции И, ИЛИ и НЕ
· соблюдать порядок логических операций
· строить таблицу истинности по шагам
Что считается высказыванием
Высказывание – утверждение, для которого можно определить значение «истина» или «ложь». Фраза «12 делится на 3» является истинным высказыванием. Вопрос «Который час?» и команда «Открой файл» не являются высказываниями, потому что они ничего не утверждают.
Три базовые операции
| Операция | Когда истинна | Пример |
|---|---|---|
| НЕ A | когда A ложно | НЕ(7 > 10) |
| A И B | когда истинны обе части | x > 5 И x < 10 |
| A ИЛИ B | когда истинна хотя бы одна часть | x < 0 ИЛИ x > 100 |
В школьной логике ИЛИ обычно не является исключающим. Оно истинно и тогда, когда истинны обе части. Число 6 делится на 2 ИЛИ на 3, потому что выполняются сразу оба условия.
Порядок действий
Сначала выполняются операции в скобках, затем НЕ, после него И, затем ИЛИ. Выражение НЕ A И B означает (НЕ A) И B. Если порядок может читаться двояко, добавьте скобки и создайте отдельный столбец для каждой промежуточной части.
Как построить таблицу истинности
1. Посчитайте переменные: для n переменных будет 2ⁿ строк.
2. Запишите все наборы значений без пропусков.
3. Разбейте выражение на промежуточные операции.
4. Вычисляйте столбцы от внутренних операций к внешним.
5. Проверьте итоговый столбец по смыслу выражения.
Одна строка сложного выражения: Пусть A = 1, B = 0, C = 1. Для НЕ A И (B ИЛИ C): НЕ A = 0; B ИЛИ C = 1; 0 И 1 = 0
| A | B | НЕ A | НЕ A |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
Перевод условий с числовой прямой
Условие «x больше 5 и меньше 10» записывается как (x > 5) И (x < 10). Отрицание условия «x принадлежит отрезку [5; 10]» имеет вид (x < 5) ИЛИ (x > 10). Границы не входят в отрицание, потому что входят в исходный отрезок.
Законы отрицания
При отрицании сложного условия И меняется на ИЛИ, ИЛИ – на И, а каждая часть отрицается: НЕ(A И B) равносильно (НЕ A) ИЛИ (НЕ B); НЕ(A ИЛИ B) равносильно (НЕ A) И (НЕ B). Это удобно проверять по таблице истинности.
Слова-маркеры в логических условиях
В заданиях по логике границы и союзы важнее привычной разговорной формулировки. Переводите условие в символы целиком, затем проверяйте каждую часть отдельно.
| Фраза | Логическая запись |
|---|---|
| x больше 2 и не больше 7 | (x > 2) И (x ≤ 7) |
| x не меньше 5 | x ≥ 5 |
| Ровно одно из A и B истинно | A и B имеют разные значения |
Мини-проверка
Ответьте на следующие вопросы:
1) Является ли высказыванием фраза «15 – четное число»?
2) Найдите значение НЕ A при A = 0.
3) Найдите A И B при A = 1, B = 0.
4) Найдите A ИЛИ B при A = 1, B = 1.
5) Сколько строк в таблице для трех переменных?
6) Запишите условие: x принадлежит интервалу (2; 9).
7) Запишите отрицание условия x ≥ 4.
8) Найдите НЕ(A И B) при A = 1, B = 0.
9) Какая операция выполняется первой в A И (НЕ B ИЛИ C)?
10) При A = 0, B = 1 вычислите НЕ A И B.
Сначала выполните задания без подсказки. Ответы посмотрите после проверки.
Ответы: 1) Да, оно ложно. 2) 1. 3) 0. 4) 1. 5) Восемь. 6) x > 2 И x < 9. 7) x < 4. 8) 1. 9) НЕ B. 10) 1.
